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Theta函数系列（1） - 知乎

Theta函数系列（1） - 知乎首发于Naive Jacobi's Theta切换模式写文章登录/注册Theta函数系列（1）E·L古典音乐爱好者/博物学家ing/高三ing一.前言之前写过个文章，主要围绕Theta函数展开，但并没做过多介绍，事实上关于Theta，有很多有趣的性质，看起来足够高级，虽然与椭圆函数，模形式有关，但很多可以通过初等的代数技巧得到，既然初等，那我将尽量避开椭圆函数的出现，此系列的目的是让我更熟悉这些内容，同时又可以让更多读者参考，水平有限，如有问题，还请指出。二.无关紧要的定义Theta 函数有很多种类，比如 Jacobi,,Mock,Neville,Ramanujan,Riemann,Siegel 等等一系列以人名命名的函数，但本系列要讨论的是 Jacobi \quad Theta \vartheta_n(z,q)=\vartheta_n(z|\tau)\qquad q=e^{i\pi \tau} \quad \Im\tau>0 \\ 有四大类，其定义（看看就行）分别是\displaystyle{\vartheta_1(z,q)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-)^{n-\frac{1}{2}}q^{(n+\frac{1}{2})^2}e^{(2n+1)iz}\\ =2q^{\frac{1}{4}}\sum_{n=0}^{\infty}(-)^{n}q^{n(n+1)}sin[{(2n+1)z}]\\ \\ \vartheta_2(z,q)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}q^{(n+\frac{1}{2})^2}e^{(2n+1)iz}\\ =2q^{\frac{1}{4}}\sum_{n=0}^{\infty}q^{n(n+1)}cos[{(2n+1)z}]\\ \vartheta_3(z,q)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}q^{n^2}e^{2niz}\\ =1+2\sum_{n=1}^{\infty}q^{n^2}cos{(2nz)}\\ \vartheta_4(z,q)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-)^{n}q^{n^2}e^{2niz}\\ =1+2\sum_{n=1}^{\infty}(-)^nq^{n^2}cos{(2nz)}\\}\\三.合理的定义与基本介绍现在我们正式开始！我们从如下函数 f(z) 开始，我们将证明 f(z)=\vartheta_4(z) , G 是一个只与 q 有关的常数\displaystyle{f(z)=G\prod_{n=1}^{\infty}(1-2q^{2n-1}cos2z+q^{4n-2})\\=G\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{2n-1}e^{-2iz})(1-q^{2n-1}e^{2iz})}\\ 容易发现 f(z)=f(z+\pi) ,将 z’=z+\pi \tau 带入上面的式子，可以得到 f(z+\pi \tau)=-q^{-1}e^{-2iz}f(z)，这表明 \vartheta_4(z)/f(z) 是一个双周期函数，我们继续把 f(z) 展开成傅里叶级数，即 f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_ne^{2niz}\\ 由 a_n=a_{-n} 或 f(z)=f(-z) ,以及\displaystyle{\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_ne^{2niz}=-q^{-1}\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_ne^{2(n-1)iz}\\ \Leftrightarrow\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_nq^{2n+1}e^{2niz}=-\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_{n+1}e^{2niz}}\\ 当我们选取一个常数 G使得 a_0=1 可以得到(我们将在后文证明 G=\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{2n}))f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-)^nq^{n^2}cos2nz=\vartheta_4(z)\\ 让我解释一下，由于 \prod_{n=1}^{\infty}q^{2n-1} 的绝对收敛，可知 f(z) 一致收敛，由傅里叶系数的唯一性，就有 a_{n+1}=-q^{2n+1}a_n ,也就是 a_n=(-)^nq^{n^2}a_0\\ 如果我们带入 z'=z+\frac{1}{2}\pi ,就有 \displaystyle{f(z+\frac{1}{2}\pi)=G\prod_{n=1}^{\infty}(1+2q^{2n-1}cos2z+q^{4n-2})}\\同样展开可得 f(z+\frac{1}{2}\pi)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}q^{n^2}cos2nz=\vartheta_3(z)\\ 同理如果我们带入 z'=z+\frac{1}{2}\pi \tau ,我们换一种记法 g(z)=f(z+\frac{1}{2}\pi \tau) ,可以发现该函数也存在周期 \pi ,以及 g(z+\pi \tau)=-q^{-1}e^{-2iz}e^{i\pi \tau} g(z)\\可以发现\displaystyle{g(z)=-iq^{\frac{1}{4}}e^{iz}G\vartheta_4(z+\frac{1}{2}\pi \tau)\\ =2Gq^{\frac{1}{4}}sinz\prod_{n=1}^{\infty}(1-2q^{2n}cos2z+q^{4n})\\ =G\prod_{n=1}^{\infty}(1-2q^{2n}e^{2iz})(1-q^{2n-2}e^{-2iz})\\ =-q^{\frac{1}{2}}\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-)^nq^{(n+\frac{1}{2})^2}e^{(2n+1)iz}\\ =2q^{\frac{1}{4}}\sum_{n=0}^{\infty}(-)^{n}q^{n(n+1)}sin[{(2n+1)z}]\\ =\vartheta_1(z)}\\ 完全类似地，还有 \displaystyle{\vartheta_1(z+\frac{1}{2}\pi)=\vartheta_2(z)\\ =2Gq^{\frac{1}{4}}cosz\prod_{n=1}^{\infty}(1+2q^{2n}cos2z+q^{4n})}\\ 由定义，有如下对偶式\displaystyle{\vartheta_3(z,q)+\vartheta_4(z,q)=2+2\sum_{n=1}^{\infty}(1+(-)^n)q^{n^2}cos{(2nz)}\\ =2[1+2\sum_{n=1}^{\infty}(-)^nq^{4n^2}cos{(4nz)}]\\=2\vartheta_3(2z,q^4)}\\\displaystyle{\vartheta_3(z,q)-\vartheta_4(z,q)=2\sum_{n=1}^{\infty}(1-(-)^n)q^{n^2}cos{(2nz)}\\ =4\sum_{n=0}^{\infty}q^{(2n+1)^2}cos[{2(2n+1)z}]\\ =2\vartheta_2(2z,q^4)}\\ 也就是 \displaystyle{ {\vartheta_3(z,q)=\vartheta_3(2z,q^4)+\vartheta_2(2z,q^4)\\ \vartheta_4(z,q)=\vartheta_3(2z,q^4)-\vartheta_2(2z,q^4)}\\}\\四.AGM等式，Jacobi恒等式与定义中的常数G的初步尝试至此我们可以得到几个有趣的结果，在上面的第一个对偶式中取 z=0 并规定 \theta_i(q)=\vartheta_i(0,q) 有\displaystyle{\theta_3(q)+\theta_4(q)=2\theta_3^2(q^4)\\ =\sum_{n=-\infty}^{\infty}\sum_{m=-\infty}^{\infty}q^{n^2+m^2}\\ =\sum_{n=0}^{\infty}r_2(n)q^{n}}\\ 其中 n=p^2+q^2,r_2(n) 为对于不同的 p,q 的 n 的数目，并定义 r_2(0)=1 ,所以有 {\theta_4^2(q)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\sum_{m=-\infty}^{\infty}(-)^{m+n}q^{n^2+m^2}\\ =\sum_{n=0}^{\infty}r_2(n)(-)^nq^{n}}\\ 又因 \displaystyle{m^2+n^2\equiv m+n\quad (mod2)\\ 2(a^2+b^2)=(a-b)^2+(a+b)^2}\\ 则对于数对 (a,b),存在双射使得 (a,b)\rightarrow (a',b')=(a \quad b)\left(\begin{array} 1 1&1 \\-1&1 \end{array}\right)\\且 (a',b')=(a-b,a+b)\\从而有r_2(2n)=r_2(n)\\ 也就有 \theta_3^2(q)+\theta_4^2(q)=2\sum_{n=0}^{\infty}r_2(2n)q^{2n}\\=2\theta_3^2(q^2)\\ 还有 \theta_3(q)\theta_4(q)=\frac{1}{2}(\theta_3(q)+\theta_4(q))^2-\frac{1}{2}(\theta_3^2(q)+\theta_4^2(q))\\ =2\theta_3^2(q^4)-\theta_3^2(q^2)\\ =\theta_4^2(q^2)\\ 也就是类似 AGM不等式，有(暂且称之为AGM等式)(其实就是方均根和几何平均数)\color{red}{\frac{\theta_3^2(q)+\theta_4^2(q)}{2}=\theta_3^2(q^2)\\ \sqrt{\theta_3(q)\theta_4(q)}=\theta_4(q^2)}\\ 以及 \theta_3^2(q)-\theta_4^2(q^2)=\sum_{n=0}^{\infty}r_2(n)q^{n}-\sum_{n=0}^{\infty}r_2(2n)q^{2n}\\ =\sum_{n=0}^{\infty}r_2(2n+1)q^{2n+1}\\=\sum_{k,m=-\infty\\k+m \in odd}q^{m^2+k^2}\\ =\sum_{i,j=-\infty}q^{2((i+\frac{1}{2})^2+(j+\frac{1}{2})^2)^2}\\ =\theta_2^2(q^2)\\ 综合 AGM 等式，\theta_3^2(q^2)-\theta_2^2(q^2)=\theta_4^2(q)\\ \theta_3^2(q^2)+\theta_2^2(q^2)=\theta_3^2(q) \\ 有 \color{red}{} \color{red}{\theta_3^4(q)=\theta_2^4(q)+\theta_4^4(q)}\\ 这就是著名的 Jacobi 恒等式，我们还会用别的方法再次得到这一结果的不同形式，现在，我们看另一个结果，首先我们进行如下操作 ln\vartheta_3(z,q) =lnG+\sum_{n=1}^{\infty}ln(1+2q^{2n-1}cos2z+q^{4n-2})\\求导\frac{\theta'_3}{\theta_3}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2iq^{2n-1}e^{2iz}}{1+q^{2n-1}e^{2iz}}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2iq^{2n-1}e^{-2iz}}{1+q^{2n-1}e^{-2iz}}\\ \displaystyle{\frac{\theta''_3}{\theta'_3}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2iq^{2n-1}e^{2iz}}{1+q^{2n-1}e^{2iz}}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2iq^{2n-1}e^{-2iz}}{1+q^{2n-1}e^{-2iz}}+\\\frac{\theta_3}{\theta'_3}(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2i)^2q^{2n-1}e^{2iz}}{(1+q^{2n-1}e^{2iz})^2}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2i)^2q^{2n-1}e^{-2iz}}{(1+q^{2n-1}e^{-2iz})^2})}\\ 令 z\rightarrow0 可得 \theta'_3=0\\ \theta''_3=-8\theta_3\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{2n-1}}{(1+q^{2n-1})^2}\\ 类似地还有 \theta'_2=0\\ \theta''_2=-\theta_2[1+8\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{2n}}{(1+q^{2n})^2}]\\ \theta'_4=0\\ \theta''_4=8\theta_4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{2n-1}}{(1-q^{2n-1})^2}\\ 以及对于 \phi'(z)sinz=\vartheta_1(z,q) 还有\phi'(0)=0\\ \phi''(0)=8\phi(0)\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{2n}}{(1-q^{2n})^2}\\ \theta'=\phi(0)\\ \theta'''=3\phi''(0)-\phi(0)\\ 因此 \frac{\theta'''_1}{\theta'_1}=24\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{2n}}{(1-q^{2n})^2}-1\\ \displaystyle{\frac{\theta''_2}{\theta_2}+\frac{\theta''_3}{\theta_3}+\frac{\theta''_4}{\theta_4}+1=\\8[-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{n}}{(1+q^{n})^2}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{n}}{(1-q^{n})^2}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{2n}}{(1-q^{2n})^2}]}\\ 五.热传导问题与Theta函数作为方程的解记住上面的内容，还没有结束，现在我们休息一下，扯一个题外话：热传导问题\theta 是在一各向同的固体导体中某点的温度，是关于时间 t 的函数，如果固体的密度为 \rho ，比热为 s ，导热系数为 k，那么 \theta 满足如下方程 \chi \Delta \theta=\frac {\partial \theta}{\partial t}\\ 其中 \chi=\frac{s}{\rho} 为扩散系数， \Delta 为拉普拉斯算子，当我们简化问题只考虑一个方向时有 \chi \frac {\partial^2 \theta(z,t)}{\partial z^2}=\frac {\partial \theta(z,t)}{\partial t}\\ 对于该方向上无限长限制在 z\in (0.\pi) 的理想情况下，假设有边界条件 \theta=0|_{z=0} ，以及 f(z)=\theta(z,0) 那么分离变量可得到方程的解 \theta(z,t)=\sum_{n=1}^{\infty}b_ne^{-n^2 \chi t}sinnz\\ 傅里叶系数为b_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(z)sinnz dz\\ 假设初始时刻除固体中点 z=\frac{\pi}{2} 处温度很高外，温度处处为0，也就是 f(z)=\pi \delta(z-\frac{\pi}{2}) ，也就有 b_n=2\int_{0}^{\pi}\delta(z-\frac{\pi}{2})sinnz dz=2sin\frac{n \pi}{2}\\\theta(z,t)=2\sum_{n=1}^{\infty}(-)^ne^{-(2n+1)^2 \chi t}sin(2n+1)z\\ 得到结果了！（也许我不该写这个物理问题。。）六.定义中的常数G的再次尝试现在我们多知道了一件事 \frac{\pi}{4}\frac {\partial^2 \vartheta_3(z,t)}{\partial z^2}+\frac {\partial \vartheta_3(z,t)}{\partial t}=0\\ 改写一下四中的式子\displaystyle{\frac{1}{\theta'_2(\tau)}\frac{d\theta_2(\tau)}{d\tau}+\frac{1}{\theta'_3(\tau)}\frac{d\theta_3(\tau)}{d\tau}+\frac{1}{\theta'_4(\tau)}\frac{d\theta_4(\tau)}{d\tau}=\frac{1}{\theta'_1(\tau)}\frac{d\theta'_1(\tau)}{d\tau}}\\ 对 \tau 积分，有 \theta'_1(q)=C\theta_2(q)\theta_3(q)\theta_4(q)\\ 令 q\rightarrow0 ，有 C=1 ,以及 \theta'_1=\theta_2\theta_3\theta_4\\ 此时再带入 \theta'_1，\theta_2，\theta_3，\theta_4 ，就有 G^2=\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{2n})^2\\ G=\pm\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{2n})\\ 又由 \lim_{q \rightarrow 0}G\rightarrow1 \\ 可知 G=\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{2n})\\ 再把 \theta'_1，\theta_2，\theta_3，\theta_4 代入上文中的 Jacobi 恒等式，就有\displaystyle{\color{red}{\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{2n-1})^8+16q\prod_{n=1}^{\infty}(1+q^{2n})^8=\prod_{n=1}^{\infty}(1+q^{2n-1})^8}}\\这一结果最早来自于 Jacobi .事实上 \theta'_1=\theta_2\theta_3\theta_4 也被称为 Jacobi 恒等式，而在后续的内容中将会出现更多的 Jacobi 恒等式。七.Jacobi 三重积恒等式及Pentagonal数我在下面这个回答里也使用过这个结果，比较有趣。\sum_{n \in Z}q^{n^2}x^n=\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{2n})(1+q^{2n-1}x^{-1})(1+q^{2n-1}x)\\ 这个式子的正规形式其实是令 x=e^{2iz} ，其实也就是我们上文提到过的 f(x) ,其证明有好多但现在我们来看 Euler 关于Pentagonal 数的结果:对于 \left| x \right|<1 由Jacobi 三重积恒等式有 \sum_{n \in Z}(-)^nx^{kn^2+nl}=\prod_{n=0}^{\infty}(1-x^{2kn+k-l})(1-x^{2kn+k+l})\\ 令 k=\frac{3}{2},l=\frac{1}{2} ,有 \displaystyle{\sum_{n \in Z}(-)^nx^{\frac{n(3n+1)}{2}}=\prod_{n=0}^{\infty}(1-x^{3n+1})(1-x^{3n+2})(1-x^{3n+3})}\\ 让我首先介绍一点东西然后再继续，对于一个正整数 n 可以表示为多个不一定相等的正整数的和时，即 n=a_1+a_2+....+a_m\\ 我们用 p(n) 表示数组 (a_1,a_2,...,a_m) 的数量，称为非限制分解。那么此时我们可以发现 \prod_{n=1}^{\infty}(1-x^n)=\sum_{d=0}^{\infty}(-)^d\sum_{n_1,n_2,...n_d\geq0}^{\infty}x^{n_1+n_2+...+n_d}\\ =1+\sum_{m=1}^{\infty}x^m\sum_{n_1,n_2,...n_d=m}^{\infty}(-)^d\\ =1+\sum_{m=1}^{\infty}x^m[p_e(m)-p_o(m)]\\ 其中 p_e,p_o 分别表示把 m 分为偶数或奇数个不相等的部分，比如 7=6+1=5+2=4+3=4+2+1\\ p_e(7)=3,p_o(7)=2\\ 也就有 \displaystyle{\sum_{n \in Z}(-)^nx^{\frac{n(3n+1)}{2}}=1+\sum_{m=1}^{\infty}x^m[p_e(m)-p_o(m)]}\\ 也就是说对于 m=\frac{n(3n+1)}{2}, p_e(m)-p_o(m)=(-)^n 或 0 .事实上，通过比系数，我们还可以得到 \displaystyle{\prod_{n=1}^{\infty}(1-x^n)^{-1}\\=1+\sum_{d=0}^{\infty}(-)^d\sum_{n_1,n_2,...n_d\geq0}^{\infty}x^{n_1+n_2+...+n_d}\\ =1+\sum_{m=1}^{\infty}p(m)x^m}\\ 以及 \displaystyle{\sum_{n \in Z}(-)^nx^{\frac{n(3n+1)}{2}}=1+\sum_{n=1}^{\infty}(-)^n[x^{\frac{n(3n-1)}{2}}+x^{\frac{n(3n+1)}{2}}]}\\\displaystyle{(1+\sum_{n=1}^{\infty}(-)^n[x^{\frac{n(3n-1)}{2}}+x^{\frac{n(3n+1)}{2}}])(1-\sum_{n=1}^{\infty}p(n)x^n)=1}\\最后直观感受一下Pentagonal 数，我们这一次的内容就到这里！生病了，一躺下就咳嗽，不敢躺下，于是写这个内容，现在发现天已经亮了。。后续还是要更新的，但是高三生活非常恶心，住宿，没有时间，现在是因为病了回家才敢想整这些没用的，所以更新的不确定性很大。参考1^Eliptic Functions. J.V.Armitage /W.F.Eberlen.2^A Course of Morden Analysis.E.T.Whittaker / G.N.Watson.3^特殊函数概论. 王竹溪/ 郭敦仁.编辑于 2023-12-24 10:07・IP 属地中国台湾函数特殊函数赞同 265 条评论分享喜欢收藏申请转载文章被以下专栏收录Naive Jacobi's Theta避免出现椭圆函数，模以及解

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百度百科网页新闻贴吧知道网盘图片视频地图文库资讯采购百科百度首页登录注册进入词条全站搜索帮助首页秒懂百科特色百科知识专题加入百科百科团队权威合作下载百科APP个人中心收藏查看我的收藏0有用+10Θ函数播报讨论上传视频数学领域术语本词条由“科普中国”科学百科词条编写与应用工作项目审核。数学中，Θ函数是一种多复变特殊函数。其应用包括阿贝尔簇与模空间、二次形式、孤立子理论；其格拉斯曼代数推广亦出现于量子场论，尤其于超弦与D-膜理论。Θ函数最常见于椭圆函数理论。相对于其“z” 变量，Θ函数是拟周期函数（quasiperiodic function），具有“拟周期性”。在一般下降理论（descent theory）中，此来自线丛条件。 [1]中文名Θ函数分类模形式、黎曼曲面应用椭圆函数领域数理科学目录1雅可比Θ函数2辅助函数3雅可比恒等式4以nome q表示Θ函数5乘积表示式6积分表示式7与黎曼ζ函数的关系8与维尔斯特拉斯椭圆函数之关系9与模形式之关系10解热方程11与海森堡群之关系12推广雅可比Θ函数播报编辑雅可比Θ函数取二变量与，其中为任何复数，而为上半复平面上一点；此函数之定义为：若固定，则此成为一周期为1的单变量整函数的傅里叶级数：在以位移时，此函数符合：其中a与b为整数。 [2]辅助函数播报编辑可定义辅助函数：其中符号依黎曼与芒福德之习惯；雅可比的原文用变量替换了，而称本条目中的Θ为为为为。若设，则我们可从以上获得四支单以，为变量之函数，其中 ,取值于上半复平面。此等函数人称“Θ‘常量’”（theta constant）；我们可以用Θ函数定义一系列模形式，或参数化某些曲线。由“雅可比恒等式”可得：是为四次费马曲线。 [3]雅可比恒等式播报编辑雅可比恒等式描述模群在Θ函数之作用；模群之生成元为T: τ ↦ τ+1与S: τ ↦ -1/τ。我们已有 T 作用之式。设：则以nome q表示Θ函数播报编辑我们可用变量与，代替与，来表示ϑ。设而。则ϑ可表示为：而辅助Θ函数可表示为：此表示式不需要指数函数，所以适用于指数函数无每一处定义域，如p进数域。 [4]乘积表示式播报编辑雅可比三重积恒等式（Jacobi's triple product identity）中指出：若有复数与，其中而，则此式可以用基本方法证明，如戈弗雷·哈罗德·哈代和爱德华·梅特兰·赖特共同编著的《数论导引》。若用nome变量与表示，则有：由此得到Θ函数的积公式：三重积等式左边可以扩展成：即：这个式子在z取实值时尤为重要。各辅助Θ函数亦有类似之积公式：积分表示式播报编辑雅可比Θ函数可用积分表示，如下：与黎曼ζ函数的关系播报编辑黎曼尝用关系式以证黎曼ζ函数之函数方程。他写下等式：而此积分于替换下不变。z非零时之积分，在赫尔维茨ζ函数一文有描述。与维尔斯特拉斯椭圆函数之关系播报编辑雅可比用Θ函数来构造椭圆函数，并使其有易于计算之形式。他表示他的椭圆函数成两枚上述Θ函数之商。魏尔施特拉斯椭圆函数亦可由雅可比Θ构造：其中二次微分相对于z，而常数c使的罗朗级数（于 z = 0）常项为零。与模形式之关系播报编辑设η为戴德金η函数。则解热方程播报编辑雅可比Θ函数为一维热方程、于时间为零时符合周期边界条件之唯一解。设z = x取实值，τ = it而t取正值。则有此解此下方程：于t = 0时，Θ函数成为“狄拉克梳状函数”（Dirac comb）其中δ为狄拉克δ函数，故可知此解是唯一的。因此，一般解可得自t = 0时的（周期）边界条件与Θ函数的卷积。 [5]与海森堡群之关系播报编辑雅可比Θ函在海森堡群之一离散子群作用下不变。见海森堡群之Θ表示一文。推广播报编辑若F为一n元二次型，则有一关连的Θ函数其中为整数格。此Θ函数是模群（或某适当子群）上的权n/2 模形式。在其富理埃级数中，称为此模形式之“表示数”（representation numbers）。新手上路成长任务编辑入门编辑规则本人编辑我有疑问内容质疑在线客服官方贴吧意见反馈投诉建议举报不良信息未通过词条申诉投诉侵权信息封禁查询与解封©2024 Baidu 使用百度前必读 | 百科协议 | 隐私政策 | 百度百科合作平台 | 京ICP证030173号京公网安备110000020000

数学笔记|模形式(3):两个特殊函数 - 知乎

数学笔记|模形式(3):两个特殊函数 - 知乎首发于Elaina的旅行见闻录切换模式写文章登录/注册数学笔记|模形式(3):两个特殊函数Elaina旅行中的魔女～☆使用教材：1.潘承洞，潘承彪.模形式导引；2.F.Diamond and J.Shurman.A First Course in Modular Forms(GTM228). 本文将介绍Weierstrass椭圆函数和 \Theta 函数。椭圆函数 F_k(z) 的极点的阶 k\geq3 且留数为 0 ，所以当 z_0 不是极点时，积分与路径无关且有 \int_{z_0}^{z}F_k(z)dz=-\frac{1}{k-1}\sum_{\omega\in\Lambda}{\left( \frac{1}{(z-\omega)^{k-1}}-\frac{1}{(z_0-\omega)^{k-1}}\right)} 成立，其中式子右侧的级数在任一不包含 \omega\in\Lambda 的有限闭区域上绝对一致收敛。当阶 k\geq4 时对不是极点的 z_0有 \int_{z_0}^{z}F_k(z)dz=-\frac{1}{k-1}(F_{k-1}(z)-F_{k-1}(z_0)) 和 F'_{k-1}(z)=-(k-1)F_k(z_0) 成立。当阶 k\geq3 ， z_0=\tau\in\Lambda 是极点时积分与路径无关且有：\begin{align*} &{\int_{\tau}^{z}\left( F_k(z)-(z-\tau)^{-k}\right)dz}\\ &={-\frac{1}{k-1}}\sum_{\tau\ne\omega\in\Lambda}{\left( \frac{1}{(z-\omega)^{k-1}}-\frac{1}{(\tau-\omega)^{k-1}} \right)}\\ \end{align*}\\ 我们记 \rho_{k-1}(z;\tau)={\rho_{k-1}(z;\Lambda,\tau)} -\frac{1}{k-1}\sum_{\tau\ne\omega\in\Lambda}\left( \frac{1}{(z-\omega)^{k-1}}-\frac{1}{(\tau-\omega)^{k-1}} \right) ，这是一个特殊函数，称为Weierstrass椭圆函数。其是一个二阶椭圆函数，也是一个偶函数。设 r=\min{|\omega||0\ne\omega\in\Lambda} ，在区域 0<|z|0 ，有：\psi(\frac{1}{x},a)=x^{\frac{1}{2}}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}e^{-\pi n^2x+2\pi ina},x>0\\ 且当 a=0 时有 \psi(\frac{1}{x})=x^{\frac{1}{2}}\psi(x),x>0 。本文仅作为作者的个人笔记，若有读者则请谨慎阅读。编辑于 2020-05-05 12:18数学笔记模形式数论赞同 9添加评论分享喜欢收藏申请转载文章被以下专栏收录Elaina的旅行见闻录内容杂乱的个人学

Theta函数系列（2） - 知乎

Theta函数系列（2） - 知乎首发于Naive Jacobi's Theta切换模式写文章登录/注册Theta函数系列（2）E·L古典音乐爱好者/博物学家ing/高三ing传送门 \downarrow 一.Jacobi's two-square定理这次我们从Jacobi 三重积开始\displaystyle \sum_{n \in Z}q^{n^2}x^n=\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{2n})(1+q^{2n-1}x^{-1})(1+q^{2n-1}x)\\ 取 q'=q^2,x'=-qx^2 ,再在等式两边同乘 x ，可以得到 \displaystyle (x-x^{-1})\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{n})(1-q^{n}x^{-2})(1-q^{n}x^2)\\ =\sum_{n \in Z}(-1)^nq^{\frac{n(n+1)}{2}}x^{2n+1}\\ =\sum_{n \in Z}q^{2n^2+n}x^{4n+1}-\sum_{n \in Z}q^{2n^2-n}x^{4n-1}\\ =x\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{4n})(1+q^{4n-1}x^{4})(1+q^{4n-3}x^{-4})-x^{-1}\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{4n})(1+q^{4n-3}x^{4})(1+q^{4n-1}x^{-4})\\ 对 x 求导并令 x=1 可得 \prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{4n})(1+q^{4n-3})(1+q^{4n-1})(1-4\sum_{n\geq0}(\frac{q^{4n+1}}{1-q^{4n+1}}-\frac{q^{4n+3}}{1-q^{4n+3}}))\\=\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{n})^3\\ 让我解释一下，事实上就是 (\prod_{n=1}^{\infty}f(n))'= (\prod_{n=1}^{\infty}f(n))\sum_{n=1}^{\infty}\frac{f'(n)}{f(n)}\\ 我们可以发现\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{4n})(1+q^{4n-3})(1+q^{4n-1})\\ =\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{4n})(1+q^{2n-1})\\ =\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{n})(1+q^n)(1+q^{2n})(1+q^{2n-1})\\ 也就是 1-4\sum_{n\geq0}(\frac{q^{4n+1}}{1-q^{4n+1}}-\frac{q^{4n+3}}{1-q^{4n+3}})\\ =\prod_{n=1}^{\infty}(\frac{1-q^n}{1+q^n})^2\\ 我们还可以发现 \prod_{n=1}^{\infty}(\frac{1-q^n}{1+q^n})\\ =\prod_{n=1}^{\infty}\frac{(1-q^{2n-1})(1-q^{2n})}{1+q^n}\\ =\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{2n-1})(1-q^n)\\ =\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{2n-1})^2(1-q^{2n})\\ 回想一下上一篇文章，最后这个式子事实上就是 \vartheta_4(0,q) ,也就能得到 \sum_{n \in Z}(-)^nq^{n^2}=\prod_{n=1}^{\infty}(\frac{1-q^n}{1+q^n})\\ 也就是 1-4\sum_{n\geq0}(\frac{q^{4n+1}}{1-q^{4n+1}}-\frac{q^{4n+3}}{1-q^{4n+3}})\\=(\sum_{n \in Z}(-)^nq^{n^2})^2\\ 我们知道 \vartheta_4(0,q)=\vartheta_3(0,-q) ，因此 \color{red}{1+4\sum_{n\geq1}(\frac{q^{4n-3}}{1-q^{4n-3}}-\frac{q^{4n-1}}{1-q^{4n-1}})=(\sum_{n \in Z}q^{n^2})^2}\\ 这就是著名的Jacobi's two-square定理！有一个直接的推论，就是 \vartheta_3^2(e^{-\pi x})=\sum_{n\in Z}\frac{1}{cosh(n\pi x)}\\ 或者写成 \sum_{n\in Z}\frac{1}{cosh(n\pi x)}=(\sum_{n\in Z}e^{-n^2\pi x})^2\\ 也就是下面这个回答作为上面这个级数的推广之一，也是这个系列的第0号作品，有 \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{cosh^2(n\pi x)}\\=-\frac{1}{2}+2\frac{\vartheta'_2(e^{-\pi x})}{{\vartheta_2(e^{-\pi x})}}\\=-\frac{1}{2}+2[\frac{\vartheta_4^4(e^{-\pi x})}{4}+\frac{\vartheta'_3(e^{-\pi x})}{\vartheta_3(e^{-\pi x})}]\\ 二.Jacobi's four-square定理我们从上面的一个式子开始 \prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{n})^3=\frac{1}{2}\sum_{n \in Z}(-1)^n(2n+1)q^{\frac{n(n+1)}{2}}\\ 平方可得 \prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{n})^6\\=\frac{1}{4}\sum_{n,m \in Z}(-1)^{n+m}(2n+1)(2m+1)q^{\frac{n(n+1)+m(m+1)}{2}}\\ 我们根据 m+n 的奇偶把和式分为两部分 \frac{1}{4}(\sum_{n\equiv m \pmod2}-\sum_{n\not{\equiv} m \pmod2})(-1)^{n+m}(2n+1)(2m+1)q^{\frac{n(n+1)+m(m+1)}{2}}\\ 记第两个和式下标分别为 r=\frac{1}{2}(m+n),s=\frac{1}{2}(m-n),r=\frac{1}{2}(m-n-1),s=\frac{1}{2}(m+n+1) 有\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{n})^6\\=\frac{1}{2}\sum_{r,s \in Z}((2r+1)^2-(2s)^2)q^{r^2+s^2+r}\\ =\frac{1}{2}\left\{ \sum_{s \in Z}q^{s^2}\sum_{r \in Z}(2r+1)^2q^{r^2+r}- \sum_{r\in Z}q^{r^2+r}\sum_{s\in Z}(2s)^2q^{s^2}\right\}\\ =\frac{1}{2}\left\{ \sum_{s \in Z}q^{s^2}(1+4q\frac{d}{dq})\sum_{r \in Z}q^{r^2+r}- \sum_{r\in Z}q^{r^2+r}(4q\frac{d}{dq})\sum_{s\in Z}(2s)^2q^{s^2}\right\}\\ 由Jacobi 三重积，可知原式等于 \displaystyle =\frac{1}{2}\left\{ \prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{2n})(1+q^{2n-1})^2(1+4q\frac{d}{dq})2\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{2n})(1+q^{2n})^2\\ -2 \prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{2n})(1+q^{2n})^2 (4q\frac{d}{dq}) \prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{2n})(1+q^{2n-1})^2\right\}\\\displaystyle= \prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{2n})(1+q^{2n-1})^2 (1-q^{2n})(1+q^{2n})^2\\\times\left\{ 1+8\sum_{n\in Z_+}\frac{2nq^{2n}}{1+q^{2n}}-4\sum_{n\in Z_+}\frac{2nq^{2n}}{1-q^{2n}} \right\}\\ - \prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{2n})(1+q^{2n-1})^2 (1-q^{2n})(1+q^{2n})^2\\\times \left\{ 8\sum_{n\in Z_+}\frac{(2n-1)q^{2n-1}}{1+q^{2n-1}}-4\sum_{n\in Z_+}\frac{2nq^{2n}}{1-q^{2n}} \right\}\\\displaystyle=\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{2n})(1+q^{2n-1})^2 (1-q^{2n})(1+q^{2n})^2\\\times\left\{ 1-8\sum_{n\in Z_+}\frac{(2n-1)q^{2n-1}}{1+q^{2n-1}}-\frac{2nq^{2n}}{1+q^{2n}}\right\}\\ 等式两边同时除以下式 \prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{n})^2(1+q^{n})^4\\ =\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{2n})^2(1+q^{n})^2\\\\ =\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{2n})^2(1+q^{2n})^2(1+q^{2n-1})^2\\ 可以得到 \prod_{n=1}^{\infty}(\frac{1-q^n}{1+q^n})^4\\ = 1-8\sum_{n\geq 1}(\frac{(2n-1)q^{2n-1}}{1+q^{2n-1}}-\frac{2nq^{2n}}{1+q^{2n}})\\ 我们已经知道 \vartheta_4(0,q)=\vartheta_3(0,-q)以及\sum_{n \in Z}(-)^nq^{n^2}=\prod_{n=1}^{\infty}(\frac{1-q^n}{1+q^n})\\ 也就是 (\sum_{n \in Z}q^{n^2})^4=1+8\sum_{n\geq 1}(\frac{(2n-1)q^{2n-1}}{1-q^{2n-1}}+\frac{2nq^{2n}}{1+q^{2n}})\\ =1+8\sum_{n\geq 1}\frac{nq^{n}}{1-q^{n}}-8\sum_{n\geq 1}\frac{4nq^{4n}}{1-q^{4n}}\\ 或者写成（“不整除”不会整）\color{blue}{(\sum_{n \in Z}q^{n^2})^4=1+8\sum_{n \ne4k}\frac{nq^{n}}{1-q^{n}}}\\ \color{green}{(\sum_{n \in Z}q^{n^2})^4=1+8\sum_{n\geq 1}\frac{nq^{n}}{1-q^{n}}-8\sum_{n\geq 1}\frac{4nq^{4n}}{1-q^{4n}}}\\ \color{maroon}{(\sum_{n \in Z}(-)^nq^{n^2})^4=1+8\sum_{n \geq 1}\frac{(-)^nq^{n}}{(1+q^{n})^2}}\\ \\ 如果大家认真看过我之前的文章，也许会对上面的式子感到有些眼熟，也许我把中间那个写成下面这样你的感觉会更强烈 \theta^4_3(q)=1+8\sum_{n\geq 1}(\frac{nq^{n}}{1-q^{n}}-\frac{4nq^{4n}}{1-q^{4n}})\\ 事实上这就是 q 级数展开，你觉得眼熟也许是因为我在这个系列的0号作品中不加证明地使用了 \theta^4_4 的 q 级数展开，即\vartheta_4^4(q)=1+8\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^nnq^n}{1+q^n}\\欢迎大家翻回去查看！\color{yellow}{}三.无关紧要的评论事实上，上面的三重积（triple product identity）公式以及Jacobi's four-square定理还可以进行更为复杂的推广，以前者为例，还有五重积公式(Quintuple product identity)\displaystyle\sum_{n \in Z}q^{\frac{3n^2+n}{2}}({z}^{3n}-z^{-3n-1})\\=\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{n})(1-zq^{n})(1-z^{-1}q^{n-1})(1-z^2q^{2n-1})(1-z^{-2}q^{2n-1})\\ 还有七重积（septuple product identity）涉及到更复杂的数论知识（总之是逃不出椭圆函数），而且属实是也不太美观,证明也是非常恶心（什么？你说你不信？好！我写给你看。）七重积（septuple product identity）\displaystyle(q,q,z,q/z;q)_\infty(qz^2,q/z^2,z^2,q^2/z^2;q^2)_\infty\\ =\sum_{n \in Z}(-)^nq^{\frac{5n^2+n}{2}}(\sum_{k \in Z}(-)^kq^{\frac{5k^2+3k}{2}z^{5k+3}}+\sum_{k \in Z}(-)^kq^{\frac{5k^2-3k}{2}z^{5k}})\\ -\sum_{n \in Z}(-)^nq^{\frac{5n^2+3n}{2}}(\sum_{k \in Z}(-)^kq^{\frac{5k^2+k}{2}z^{5k+2}}+\sum_{k \in Z}(-)^kq^{\frac{5k^2-k}{2}z^{5k+1}})\\ 现在信了没？（你问我形式怎么和前面的不一样了，看不懂了？那就好！） q 级数的直接使用也是我尽量避免的（具体是否引入还是看情况比较好）。其实到这里我们就已经可以开始处理一些级数了，但是说的各种性质和定理只是冰山一角，不用椭圆函数再往下推进也是比较艰难，而且对于大部分读者似乎也不太愿意了解太多这方面的内容，毕竟椭圆函数和整数分拆（我打算之后做一个相关的内容）似乎是一战到二战之间的主流数学，那时数学发展的基础比较低，不像现在什么各种数学理论乱飞，比如我前两天还新听说了个叫做Tropical Geometry 的学科（不就代数几何嘛），望而生畏（代数几何确实让我望而生畏）。好了接下来让我补充几个Jacobi 三重积的相关产物。四.Jacobi 三重积的其他产物由Jacobi 三重积，我们可以得到 \sum_{n \in Z}q^{\frac{3n^2+n}{2}}x^{6n+1}=\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{3n})(1+q^{3n-2}x^{-6})(1+q^{3n-1}x^6)\\ 等式两边对 x 求导，并令 x=1 ，可得 \sum_{n \in Z}(6n+1)q^{\frac{3n^2+n}{2}}\\=\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{3n})(1+q^{3n-2})(1+q^{3n-1})\\ \times\left\{ 1-6\sum_{n\geq1}(\frac{q^{3n-2}}{1+q^{3n-2}}-\frac{q^{3n-1}}{1+q^{3n-1}}) \right\}\\ 我们还知道 \sum_{n \in Z}(6n+1)q^{\frac{3n^2+n}{2}}\\=\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{2n-1})^5(1-q^n)^3\\ 也就是 \displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{2n-1})^5(1-q^n)^3\\ =\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{3n})(1+q^{3n-2})(1+q^{3n-1})\\ \times\left\{ 1-6\sum_{n\geq1}(\frac{q^{3n-2}}{1+q^{3n-2}}-\frac{q^{3n-1}}{1+q^{3n-1}}) \right\}\\ 可以发现 \displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}\frac{(1-q^{3n})(1+q^{n}) }{(1+q^{3n})}\\ =\prod_{n=1}^{\infty}\frac{(1-q^{6n-3})(1-q^{3n}) }{(1-q^{2n-1})}\\ =\frac{\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{6n-3})^2(1-q^{6n})}{\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{2n-1})}\\ 所以上面的式子变成 1-6\sum_{n\geq1}(\frac{q^{3n-2}}{1+q^{3n-2}}-\frac{q^{3n-1}}{1+q^{3n-1}})\\ =\frac{\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{2n-1})^6(1-q^{2n})^3}{\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{6n-3})^2(1-q^{6n})}\\ 带入Jacobi 三重积，也就可以写成 \color{purple}{1-6\sum_{n\geq1}(\frac{q^{3n-2}}{1+q^{3n-2}}-\frac{q^{3n-1}}{1+q^{3n-1}})\\ =\frac{(\sum_{n \in Z}(-)^nq^{n^2})^3}{\sum_{n \in Z}(-)^nq^{3n^2}}}\\ 或者把 q 换为 -q ， \color{purple}{1-6\sum_{n\geq1}(\frac{q^{3n-2}}{1+(-)^nq^{3n-2}}-\frac{q^{3n-1}}{1-(-)^nq^{3n-1}})\\ =\frac{(\sum_{n \in Z}q^{n^2})^3}{\sum_{n \in Z}q^{3n^2}}}\\ 类似的，由Jacobi 三重积，我们还可以得到 \sum_{n \in Z}q^{{3n^2+2n}}x^{3n+1}=x\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{6n})(1+q^{6n-5}x^{-3})(1+q^{6n-1}x^3)\\ 等式两边再对 x 求导，并令 x=1 ，可得 \sum_{n \in Z}(3n+1)q^{3n^2+2n}\\ =\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{6n})(1+q^{6n-5})(1+q^{6n-1})\\ \times\left\{ 1-3\sum_{n\geq1}(\frac{q^{6n-5}}{1+q^{6n-5}}-\frac{q^{6n-1}}{1+q^{6n-1}}) \right\}\\ 我们还知道 \displaystyle\sum_{n \in Z}(3n+1)q^{3n^2+2n}\\=\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{4n})^3(1-q^{n})(1-q^{4n-3})^2(1-q^{4n-2})(1-q^{4n-1})\\ 也就是 \displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{4n})^3(1-q^{n})(1-q^{4n-3})^2(1-q^{4n-2})(1-q^{4n-1})\\ =\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{6n})(1+q^{6n-5})(1+q^{6n-1})\\ \times\left\{ 1-3\sum_{n\geq1}(\frac{q^{6n-5}}{1+q^{6n-5}}-\frac{q^{6n-1}}{1+q^{6n-1}}) \right\}\\ 可以发现 \displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{4n})^3(1-q^{n})(1-q^{4n-3})^2(1-q^{4n-2})(1-q^{4n-1})\\\\= \prod_{n=1}^{\infty}\frac{(1-q^{2n-1})^2(1-q^{2n})^3 }{(1-q^{4n-2})^2}\\ =\frac{\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{2n})^3}{\prod_{n=1}^{\infty}(1+q^{2n-1})^2}\\ 以及 \prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{6n})(1+q^{6n-5})(1+q^{6n-1})\\ =\prod_{n=1}^{\infty}\frac{(1+q^{2n-1})(1-q^{6n}) }{(1+q^{6n-3})}\\ 带回原式，并把 q 换为 -q ，发现 \frac{\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{2n})^3}{\prod_{n=1}^{\infty}(1+q^{2n-1})^2}/ \prod_{n=1}^{\infty}\frac{(1-q^{6n}) }{(1-q^{6n-3})}\\ = 1+3\sum_{n\geq1}(\frac{q^{6n-5}}{1-q^{6n-5}}-\frac{q^{6n-1}}{1-q^{6n-1}})\\ 由定义还有 \frac{\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{2n})}{\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{2n-1})} =\sum_{n \geq0}q^{\frac{n^2+n}{2}}\\ 带入上式，可得 \displaystyle \color{magenta}{\frac{(\sum_{n \in Z}q^{\frac{n^2+n}{2}})^3\\}{\sum_{n \in Z}q^{\frac{3(n^2+n)}{2}}\\} = 1+3\sum_{n\geq1}(\frac{q^{6n-5}}{1-q^{6n-5}}-\frac{q^{6n-1}}{1-q^{6n-1}})}\\或者我们可以把上面这两个衍生物写成更好看的形式 \displaystyle\color{magenta}{\frac{\theta^3_2( q^{\frac{1}{2}})}{4\theta_2(q^{\frac{3}{2}})} = 1+3\sum_{n\geq1}(\frac{q^{6n-5}}{1-q^{6n-5}}-\frac{q^{6n-1}}{1-q^{6n-1}})}\\\displaystyle\color{purple}{\frac{\theta^3_3(q)}{\theta_3(q^3)}= 1-6\sum_{n\geq1}(\frac{q^{3n-2}}{1+(-)^nq^{3n-2}}-\frac{q^{3n-1}}{1-(-)^nq^{3n-1}})\\ }\\\displaystyle\color{fuchsia}{\frac{\theta^3_4(q)}{\theta_4(q^3)} =1-6\sum_{n\geq1}(\frac{q^{3n-2}}{1+q^{3n-2}}-\frac{q^{3n-1}}{1+q^{3n-1}})\\ }\\感觉再写知乎不崩我就要崩了，这次先到这里。去上晚（网）课了。参考1^A Simple proof of Jacobi's four-square theorem. Michael D. Hirschhorn.2^A Simple proof of Jacobi's two-square theorem. Michael D. Hirschhorn.3^https://www.wolframalpha.com/4^The Ramanujan Journal.3,153-158(1999)编辑于 2023-12-24 10:16・IP 属地中国台湾函数赞同 30添加评论分享喜欢收藏申请转载文章被以下专栏收录Naive Jacobi's Theta避免出现椭圆函数，模以及解

Jacobi Theta Functions -- from Wolfram MathWorld

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Jacobi Theta Functions

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The Jacobi theta functions are the elliptic analogs of the exponential function, and may be used to express the Jacobi

elliptic functions. The theta functions are quasi-doubly periodic, and are most

commonly denoted

in modern texts, although the notations and (Borwein and Borwein 1987) are sometimes also used.

Whittaker and Watson (1990, p. 487) gives a table summarizing notations used

by various earlier writers.

The theta functions are given in the Wolfram Language by EllipticTheta[n,

z, q], and their derivatives are given by EllipticThetaPrime[n,

z, q].

The translational partition function for an ideal gas can be derived using elliptic theta functions (Golden 1961, pp. 119 and 133; Melzak 1973, p. 122; Levine 2002, p. 838).

The theta functions may be expressed in terms of the nome , denoted , or the half-period

ratio ,

denoted ,

where

and

are related by

(1)

Let the multivalued function be interpreted to stand for . Then for a complex number , the Jacobi theta functions are defined as

(2)

(3)

(4)

(5)

Writing the doubly infinite sums as singly infinite sums gives the slightly less symmetrical forms

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(Whittaker and Watson 1990, pp. 463-464). Explicitly writing out the series gives

(12)

(13)

(14)

(15)

(Borwein and Borwein 1987, p. 52; Whittaker and Watson 1990, p. 464). is an odd

function of ,

while the other three are even functions of .

The following table illustrates the quasi-double periodicity of the Jacobi theta functions.

Here,

(16)

The quasi-periodicity can be established as follows for the specific case of ,

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

The Jacobi theta functions can be written in terms of each other:

(25)

(26)

(27)

(Whittaker and Watson 1990, p. 464). Any Jacobi theta function of given arguments can be expressed in terms of any other two Jacobi theta functions with the same arguments.

The functions

and

satisfy the identity

(28)

Define

(29)

to be the Jacobi theta functions with argument , plotted above. Then the doubly infinite sums (◇)

to (◇) take on the particularly simple forms

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

(OEIS A089800, A000122,

and A002448; Borwein and Borwein 1987, p. 33).

The function

is also given by

(37)

where

is a q-Pochhammer symbol.

The function

(38)

(39)

(40)

is sometimes defined in number theoretic contexts (Davenport 1980, p. 62). Similarly, the function

(41)

(42)

is sometimes also defined (Edwards 2001, p. 15). This function satisfies

(43)

(Jacobi 1828; Riemann 1859; Edwards 2001, p. 15), which Jacobi attributes to Poisson and follows from the Poisson sum formula.

Is also satisfies the identity

(44)

(Edwards 2001, p. 17).

Special values include

(45)

and

(46)

where

is the gamma function, most which are all special

cases of the Ramanujan theta functions.

A special derivative value due to O. Marichev (pers. comm., Jul. 2008) is given by

(47)

The plots above show the Jacobi theta functions plotted as a function of argument

and nome restricted to real values.

Particularly beautiful plots are obtained by examining the real and imaginary parts of for fixed in the complex plane for , illustrated above.

The Jacobi theta functions satisfy an almost bewilderingly large number of identities involving the four functions, their derivatives, multiples of their arguments, and sums of their arguments. Among the unusual identities given by Whittaker and Watson (1990) are

(48)

(49)

(Whittaker and Watson 1990, p. 464) and

(50)

(51)

(Whittaker and Watson 1990, p. 465), for , ..., 4, where and . A class of identities involving the squares

of Jacobi theta functions are

(52)

(53)

(54)

(55)

(Whittaker and Watson 1990, p. 466). Taking in (55) gives the special case

(56)

which is the only identity of this type.

In addition,

(57)

(58)

The Jacobi theta functions obey addition rules such as

(59)

(60)

(61)

(62)

(63)

(64)

(65)

(66)

(Whittaker and Watson 1990, p. 487),

(67)

(68)

(69)

(70)

(71)

(72)

(73)

(74)

(Whittaker and Watson 1990, p. 488), and

(75)

(Whittaker and Watson 1990, p. 488).

There are also a series of duplication formulas:

(76)

(77)

(78)

(79)

(80)

(81)

(Whittaker and Watson 1990, p. 488).

Ratios of Jacobi theta function derivatives to the functions themselves have the simple forms

(82)

(83)

(84)

(85)

(86)

(87)

(88)

(89)

(Whittaker and Watson 1990, p. 489).

The Jacobi theta functions can be expressed as products instead of sums by

(90)

(91)

(92)

(93)

where

(94)

(Whittaker and Watson 1990, pp. 469-470).

Additional beautiful product ("Eulerian") forms are given by Zucker (1990), partially summarized in the following table, where

(95)

and the q-products are written , , , and .

theta functionOEISEulerianJacobianA000122A002448A089798A089799A089800A089801A089802A089805A080995A089806A089807A089810A089811A089812A089813

Additional identities include

(96)

(97)

Here,

(98)

(OEIS A022597).

The Jacobi theta functions satisfy the partial

differential equation

(99)

where .

Ratios of the Jacobi theta functions with in the denominator also

satisfy differential equations

(100)

(101)

(102)

Jacobi's imaginary transformation expresses

in terms of .

There are a large number of beautiful identities involving Jacobi theta functions

of arguments ,

and

and ,

related by

(103)

(104)

(105)

(106)

(Whittaker and Watson 1990, pp. 467-469, 488, and 490). Using the notation

(107)

(108)

gives a whopping 288 identities of the form

(109)

The complete elliptic integrals of the first and second kinds

can be expressed using Jacobi theta functions. Let

(110)

and plug into (◇)

(111)

Now write

(112)

and

(113)

Then

(114)

where the elliptic modulus is defined by

(115)

Define also the complementary elliptic modulus

(116)

Now, since

(117)

we have shown

(118)

The solution to the equation is

(119)

which is a Jacobi elliptic function with

periods

(120)

and

(121)

Letting

be the complete elliptic integral

of the first kind with modulus , then

(122)

(123)

(124)

where

is the complementary modulus.

The Jacobi theta functions provide analytic solutions to many tricky problems in mathematics and mathematical physics. For example, the Jacobi theta functions are

related to the sum of squares function

giving the number of representations of by two squares via

(125)

(126)

(Borwein and Borwein 1987, p. 34). The general quintic equation is solvable in terms of Jacobi theta functions, and these functions

also provide a uniformly convergent form of the Green's

function for a rectangular region (Oberhettinger and Magnus 1949).

Finally, Jacobi theta functions can be used to uniformize all elliptic curves. Jacobi elliptic functions

may also be used to uniformize some hyperelliptic curves, although only two such

examples are known. The classical example is the Burnside

curve, and the second was found by Farkas and Kra around 1995.

See alsoBlecksmith-Brillhart-Gerst Theorem, Dedekind Eta Function, Elliptic

Function, Half-Period Ratio, Jacobi

Elliptic Functions, Jacobi's Imaginary

Transformation, Jacobi Triple Product,

Landen's Formula, Mock

Theta Function, Modular Equation, Mordell

Integral, Neville Theta Functions,

Nome, Pentagonal

Number Theorem, Poincaré-Fuchs-Klein

Automorphic Function, Quintuple Product

Identity, Ramanujan Theta Functions,

Schröter's Formula, Sum

of Squares Function, Weber Functions

Related Wolfram siteshttp://functions.wolfram.com/EllipticFunctions/EllipticTheta1/, http://functions.wolfram.com/EllipticFunctions/EllipticThetaPrime1/,

http://functions.wolfram.com/EllipticFunctions/EllipticTheta2/,

http://functions.wolfram.com/EllipticFunctions/EllipticThetaPrime2/,

http://functions.wolfram.com/EllipticFunctions/EllipticTheta3/,

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http://functions.wolfram.com/EllipticFunctions/EllipticTheta4/,

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ReferencesAbramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing.

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Mean Iteration." Ch. 2 in Pi

& the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity.

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A022597, A089798,

A089799, A089800,

A089801, A089802,

A089803, A089804,

A089805, A080995,

A089806, A089807,

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and Products. II. The Evaluation of Three-Dimensional Lattice Sums." J. Phys.

A: Math. Gen. 23, 117-132, 1990.Referenced on Wolfram|AlphaJacobi Theta Functions

Cite this as:

Weisstein, Eric W. "Jacobi Theta Functions."

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2020年06月08日 09:57--浏览 ·

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CaserLius粉丝：393文章：9

关注笔者这里对于《Stein Complex Analysis》的Chapter10 Exercise1的Jacobi Theta函数的一个性质进行详细的证明。同样由于专栏没法打公式所以是图片另附的。首先，为了让这个专栏更加有趣，先给出各种theta函数：也许以后会出一个让高中生也看得懂的有趣的专栏或者视频来聊聊各种函数，比如Theta函数Θ、Gamma函数Γ、Beta函数β、Zeta函数ζ、Weierstrass P函数、Weierstrass σ函数、Dedekind Eta函数η、Tchebychev ψ函数,它们之间的关系、泛函方程、性质之类的。坑先挖在这儿了，暑假慢慢填。原题：证明：我这个不是用latex写的，所以没法分享代码，暑假学一下latex吧我感觉这门课真的太难了，要挂科了，挂科预定。(ノへ￣、)本文为我原创本文禁止转载或摘编

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Gamma函数和Beta函数的应用已经在：Beta 函数和 Gamma 函数有什么用？ - 罗旻杰的回答包含了。2. 超几何函数（Hypergeometric functions）是我目前最熟悉的一种函数。从古典的途径来看有：a. 单变量：Gauss hypergeometric function,应用：作为 Second order differential equations的解。表示椭圆积分（elliptic integrals）；在模形式（modular forms），Theta functions, Ramanujan 的一些理论中的应用。Generalized hypergeometric function,应用：Clausen's Identity. 在modular forms和\frac{1}{\pi}展开式中的应用。今天，我导师邀请Heng Huat Chan教授来系里报告时就提到了这个重要的等式，并得出了非常深刻的结果。Bieberbach conjecture 参考：Askeyb. 双变量：Appell hypergeometric functions - 这类超几何函数一共有四个。应用：（直接看文献吧）Recursion formulas for Appell's hypergeometric function F_2 with some applications to radiation field problems.Generalized bivariate beta distributions involving Appell's hypergeometric function of the second kind （数理统计）Solution of Abel-type integral equation involving the Appell hypergeometric function （构造新的分数阶积分方程，以及在几何函数论（geometric function theory）中的应用）Horn hypergeometric functions - 一共有G_1, G_2, G_3, H_1, \cdots, H_7十个。Kampe de Feriet functions.c. 多变量：Lauricella hypergeometric functions - 这类超几何函数也有四个，是Apell超几何函数的推广。应用：Uniformization by Lauricella functions - An overview of the theory of Deligne-MostowLegendre Hyperelliptic integrals,\pi new formulae and Lauricella functions through the elliptic singular moduliGeneralized Kampe de Feriet functions - 这类函数是由 Srivastava 等人提出的。以上a,b,c包含的超几何函数都是最为常见的，而在历史上也出现过三个变量的超几何函数，但是后来很快就被跟一般的形式所包含了。这里需要提醒一点（以后也会不断提醒）：特例是十分重要的，有时候深刻的结论就是出现在特殊的情况下。包含多变量超几何函数的参考文献推荐：1. H.M. Srivastava, H.L. Manocha, A treatise on generating functions. 我有幸和H.M.Srivastava先生合作过几次，他在特殊函数，分数阶微积分，复变函数论等领域都有很大的影响。虽然，他并不是顶级的数学家，但是由于他在多个领域都留下了广泛的足迹，所以实力还是非常强的。2. H.M. Srivastava, P.W. Karlsson, Multiple Gaussian Hypergeometric Series. 从个人的角度来看，这是一本非常好的书（良心之作）。它列出了所有我们常用的超几何函数的形式，收敛范围及其证明。我们知道多复变量幂级数的收敛范围的确定是非常困难的，然而这本书已经详细的列出了这些必要的东西，让我们在做研究的过程中不必特别纠结收敛性的问题。3. H. Bateman, Higher transcendental functions Volume 1-3.经典之作，包含大量一般专著中包括一开始的手册中都不没有的重要结论。感觉即便是研究数论的人也应该备一本。4. B.C. Carlson, Special functions of Applied Mathematics我是最近才开始关注Carlson的作品的，他从非常不同寻常的角度来阐释特殊函数的。一些观点，例如，他把Gamma函数直接视为Euler测度：==================== 休息一会，稍后更新 ======================================== 2018.10.31 补充 =====================感谢你的问题我没有具体操作过 regularized 的定义，所以就简单讲讲我的感觉，以供参考。以 Gauss 超几何函数为例，我觉得主要的区别应该出在参数上。Gauss 超几何级数通常的定义是：{}_{2}F_{1}\left[\begin{matrix}a,b\\ c\end{matrix};z\right]={}_{2}F_{1}\left(a,b;c;z\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(a\right)_n\left(b\right)_n}{\left(c\right)_n}\frac{z^n}{n!}, ~~~|z|<1.我们一般默认参数 c\ne 0,-1,-2,\cdots. 因为，根据 Pochhammer 记号的定义\left(c\right)_n=c\left(c+1\right)\cdots\left(c+n-1\right)取这些值的时候会出现“分母为零”的情况。但是如过修改一下定义，来考虑所谓的regularized Guass 超几何函数，情况就会有些许不同。因为乘上了 Gamma 函数，所以新函数\frac{1}{\Gamma\left(c\right)}{}_{2}F_{1}\left[\begin{matrix}a,b\\ c\end{matrix};z\right]=\frac{1}{\Gamma\left(c\right)}{}_{2}F_{1}\left(a,b;c;z\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(a\right)_n\left(b\right)_n}{\Gamma\left(c+n\right)}\frac{z^n}{n!}, ~~~|z|<1.关于参数 c 由亚纯函数（meromorphic function）变成了一个整函数（entire function）。我们不再需要避开 0,-1,-2,\cdots 因为f\left(z\right):=\frac{1}{\Gamma\left(z\right)}是整函数，而 0,-1,-2,\cdots 恰好是 f\left(z\right) 的零点。总之，我们看到函数不会因为在 0,-1,-2,\cdots 上取值而变成无穷大，我们就好开心（并没有啦）。事实上，这种 regularized 定义目前看来用得不多，NIST Handbook里有用到，我估计主要是受了 Olver 那本出名的《Asymptotics and Special Functions》的影响。另外，你也可以看里面的相关部分最后，实际上我们还有更高端的 Fox-Wright 函数这样看来似乎不需要特别纠结 regularized 或者 non-regularized 的情况了吧，根据实际情况做一些必要的调整就可以了。编辑于 2018-10-31 23:38赞同 19921 条评论分享收藏喜欢收起知乎用户我首先回答，“特殊函数”为什么“特殊”。笼统的来讲，特殊函数是一些和“对称性”有关的函数。这里的"特殊函数"和“对称”都比较宽泛。特殊函数包括“特殊函数”的书中出现的那些函数，当然也包括一些”耳熟能详的“，比如指数对数三角函数和一些退化为多项式的特殊函数；“对称“包括但不限于李群、李代数、量子群及其表示。这是一个庞大古老而又崭新的课题，我就小花篇幅胡扯一下。比如，Gamma function 和 R_{+} 上的调和分析有关Hypergeometric function 和在Semisimple Lie group的表示中自然出现；Theta functions、elliptic functions 都是一些automorphic function, 他们会在自守表示中出现，也会在一些无限维李代数和顶点算子代数的特征中出现，等等，不胜枚举。用这一观点进行系统讨论的，最全面的大概就毛国如下几本书了，我时不时会去查看他们：Vilenkin "Representation of Lie groups and special functions", Vol 1,2,3; Vilenkin and Klimyk "Representation of Lie groups and special functions. Recent advances". 特殊函数既然出现了这么频繁，那用处当然是大大的多了。就只抽出 theta 函数这个例子简直就不胜枚举, Mumford 干脆就写了三本书。几何方面包括但不限于 Theta functions、hypergeometric functions 可以给出几何上的一些具体实现 (Lefschetz embedding, configuration space 等等)。可参考 Mumford, "Tata lectures on theta"；Yoshida, "Hypergeometric functions, my love"。数论方面么，实在是更博大精深不胜枚举，任何一本关于modular form 的书都会提到modular form，theta function 的应用。一些具体的hypergeometric function还会出现在自守表示中，这里就不做详述了(@罗旻杰中说”用于 modular form " 我很费解。Modular form 本身就是一种“特殊函数”)。特殊函数能用来反哺代数。比如所谓的 "very strange formula", 是个完全关于Lie algebra data 的等式，但是却用 modular form 来证明。哦对了，M. Klein 的“古今数学思想”里面说，五次方程不能开根号解，但是(Hermite 发现)可以用特殊函数解。实际上多项式方程都可以用 hypergeometric function 或theta function 来解。不过这已经是一个有点过气的问题了，可以去看Mumford 的 Tata或者网上搜索。当下本科课程有个很怪的现象，像数学系几乎从来不去开特殊函数的课程，也几乎不会有人专门去学特殊函数，但是物理系的很多学生却会把Whittaker-Watson相关内容算的相当精（对不起我对这些内容的了解真的不如他们）。这样导致数学系学生没有去充分了解一些很重要的具体例子, 容易流于抽象空谈（抽象的东西其实不可能真的懂），而物理系的学生算了很多东西却不太清楚怎么把他们统一起来看（所以问一个物理的学生甚至老师他们的回答基本都是，因为我解了许多物理模型他们的解都是特殊函数相关……而根本的原因还是因为背后有对称。不过用不着拿这来嘲讽他们）。总的来讲，数学系的学生吃了很大的亏，他们大多数最后的数学能力反而比物理系的学生差…… 茫茫阿列夫X那么多函数中为什么就你他们特殊？不是因为我说他好，也不是因为书上说他们好，而是因为他们真的好。编辑于 2020-12-27 16:18赞同 1757 条评论分享收藏喜欢

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